Урок по математике в 5 классе учителя высшей категории

Шишловой В.В.

Тема: Решение комбинаторных задач

 

Цель: познакомить с новым разделом в математичке – комбинаторной; научить решать простейшие комбинаторные  задачи; развивать логическое мышление и смекалку.

 

Ход урока

 

I. Организационный момент.

 

Сообщить тему урока,  сформулировать цели.

 

II.     Изучение нового материала.

 

Определение.

 

         Комбинаторика – раздел математики, в котором  изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

         В реальной  жизни комбинаторные  задачи решают  конструкторы при создании новой модели  механизма; агроному при планировании размещения культур; химики при изучении  строения органических молекул.

         Комбинаторика возникла в Древнем Китае и Греции.  Комбинаторика  становится наукой  лишь в 18 веке.

         По мере  развития комбинаторики выяснилось, что  центральное  место  занимают задачи,  для решения  которых либо надо перебрать все возможные варианты,  либо определить число таких вариантов, либо сделать и то и другое.

 

III.              Решение задач

 

1. Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.

 

Решение.

В записи числа на первом месте может стоять цифра 1 или 2, на втором  месте также одна из двух цифр 1  и 2. На третьем месте также можно записать либо 1 либо 2. получили восемь чисел:

 

         111, 112, 121, 122, 122, 212, 221, 222

 

2. Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются   только  цифры 0 и 7. найдите сумму этих чисел и разделите  ее на 211.

        

 

Решение.

Записи чисел на первом месте может стоять только цифра 7. на втором месте также цифра 7 и 0. на третьем месте также цифра 7 и 0.

 

Получили четыре числа:

777, 707, 770, 700

 

Сложим: 777+707+770+700=2954

 

Разделим: 2954 : 211 =14

 

3. Сколько трехзначных чисел  можно  составить из этих  цифр 2, 4, 6, 8, если

цифры в записи числа не повторяются?

 

Решение. 

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей  - любая из двух оставшихся. Получается: всего из данных цифр  можно составить  4 32 = 24 трехзначных числа.

 

4. В футбольной команде пятого класса 7 человек.

         Члены  команды выбирают капитана и вратаря. Сколькими способами это можно сделать?

 

         Решение.

Капитаном можно выбрать  одного из 7, после того как капитан выбран, можно  выбрать вратаря уже из 6 оставшихся  игроков.

Значит капитана можно выбрать семью способами, а вратаря  шестью. Следовательно, общее число способов выбрать  капитана и вратаря равно:  7 6 = 42.

 

5. В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать  президента и вице-президент. Сколькими способами это можно сделать?

 

Решение.

Президентом можно выбрать одного из 5, а вице-президентом можно оставшихся членов правления, значит  5 4 = 20 способами.

 

5. У Бориса до тренировки по плаванию оставалось время, и он решил съездить в зоопарк. От дома до зоопарка   Борис может доехать на метро, от зоопарка  до бассейна – автобусом, троллейбусом или  на метро. Сколькими способами Борис может доехать от дома до бассейна,  посетив зоопарк?

 

 

Решение.

От дома до зоопарка Борис может выбрать маршрут тремя способами. От зоопарка до бассейна тоже тремя. Значит,  Борис может доехать от дома до бассейна, посетив зоопарк:  3 Х 3 = 9 способами.

 

IV. Домашнее задание.

1.    Сколько четырехзначных чисел можно составить из нечетных цифр, если  цифры в записи числа не повторяются.

2.    На вершину холма ведут пять  тропинок. Сколько существует способов подняться на холм и спуститься с него, если спускаться и подниматься по разным тропинкам.