I. Основная часть

        Вопросы теории и практики упрощенных быстрых вычислений до сиж пор не нашли еще своего специального отражения в методической литературе, в то время когда приемы вычислительной техники могли бы служить учителю прекрасным орудием в его работе с учениками: во-первых, учитель, хорошо, усвоивший эти приемы, имеет возможность быстро проверить вычисления, производимые учащимися, и, во-вторых, во-время продемонстрировать перед ними тот или иной прием. Ученики весьма живо реагируют на новое, столь непохожее на обыденные стандартные способы вычислений, и легко воспринимают эти приемы. Вследствие этого сильно возрастает авторитет учителя, с одной стороны, и повышается интерес учащихся к предмету - с другой.

         Алгебраические доказательства, обосновывающие приводимые приемы упрощенных вычислений, производятся на базе формул и элементарных алгебраических преобразований, и тем самым учитель имеет возможность закрепить понимание формулы по существу, иллюстрируя ее соответствующим приемом быстрого счета. Это полностью отвечает требованиям утвержденной программы по математике для средней школы, где указано, что "для закрепления навыков в устном счете необходимо использовать формулы сокращенного умножения" и вообще "на всем протяжении курса арифметики должно уделяться внимание устному решению задач, устным вычислениям..."

        Методические указания о преподавании математики Института методов обучения Академии педагогических наук РСФСР подчеркивают, что на преподавателе "лежит обязанность постепенно поддерживать и совершенствовать вычислительные навыки и "желательно сообщать учащимся улучшенные приемы действий, такие, как сокращенное умножение и деление".

       Рост социалистического хозяйства в городе и на селе требует квалифицированных сил в области планирования и учета. Часть учащихся по окончании курса переходит на финансовую, бухгалтерскую и др. работы. Усвоение ряда положений, приводимых в данном пособии, может оказаться весьма полезным в их деятельности: в этом практическое значение пособия.

      Материал данного пособия, предназначенный в помощь студентам - будущим учителям, в большой степени отвечает изложенным выше требованиям: он заключает в себе ряд разработанных выше приемов быстрого счета (в большинстве своем мало известных, либо неизвестных вовсе), которыми учитель может пользоваться в своей работе по своему усмотрению.

     Считаю нужным указать на следующие разработанные мною в основном приемы как оригинальные, не встречающиеся в литературе: (10ⁿ-а)x(10ⁿ/2-b), (5x10ⁿ±а)x(5x10ⁿ±b), (10ⁿ-а)x(10k+b), (10ⁿk+10ⁿ-а)x(10ⁿk'+10ⁿ-b) при n>1, (100k+100-а)x(100-b); а, b, n, k, k' - целые, относительно небольшие числа; разработка вопроса общего способа умножения, компактный способ умножения на счетах.

1.1.  Цель исследования – умение применять способы быстрого вычисления при решении заданий.

1.2.  Предмет исследования – задания, включенные в школьные учебники, сборники задач.

1.3.  Гипотеза исследования – знания способов вычисления дает возможность решать любые задания не теряя много времени.

Цель, предмет и гипотеза исследования обусловили выдвижение и решение следующих задач исследования:

·       Изучить теоретический материал по данной теме

·       Проанализировать задания из учебников и задачников для средней школы.

II. Основная часть

2.1. СЛОЖЕНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ.

  Предварительное замечание.

Так как в начале настоящей работы мы будем оперировать с двузначными числами, которые при сложении и умножении могут давать результаты с числом знаков больше двух, то-есть числа многозначные, то условимся читать эти числа таким образом, чтобы на чтение их уходило возможно меньше слов. Это сокращает время и значительно облегчает процесс вычисления в уме.

 Как читать числа.

Двузначные числа иногда будем читать, называя отдельно цифру десятков и единиц. Так, число 58 будем читать пять-восемь; 63 будем читать: шесть-три; 70 - семь-нуль и т. д.

Трехзначные числа будем иногда читать, называя сперва число сотен и десятков, а затем отдельно число единиц. Так 153 будем читать: пятнадцать-три; 675 будем читать: шестьдесят семь-пять; 390 - тридцать девять-нуль и т. д.

Если нам надо изобразить число десять-семь, мы выписываем первое названное число 10 и после него пишем 7, получим 107.

Четырехзначные числа будем читать так:

Отдельно называть число тысяч, сотен и десятков, как трехзначное число, и отдельно число единиц. Например: двести сорок пять-семь (2457), двести три-нуль (2030) и т. д.

Задачи для упражнений. Прочтите числа: 12, 78, 30, 55, 03 (нуль три), 06, 124, 235, 790, 911, 709, 360, 241, 907, 505, 600, 1234, 1729, 1031, 2040, 6024, 5706, 4950, 4002, 4620.

Напишите числа: пять-девять, три восемь; шесть-нуль; семь-три; девять-девять; тридцать и два (302); семьдесят пять-шесть; сорок один-нуль; сорок и два; двадцать-нуль; семьдесят два-семь; восемьсот пятнадцать-три; семьсот шестьдесят два-нуль; четыреста восемьдесят пять-девять; сто двадцать и один; четыреста и семь; девятьсот девяносто восемь-один; сто и восемь.

Предоставляется сообразить учащимся:

Почему мы читаем числа 502 и 706 так: пятьдесят и два, семьдесят и шесть?

Как бы изображались последние два числа, если при их чтении отбросить "и"?

 2.2. Сложение однозначных чисел.

Некоторые счетчики (главным образом бухгалтеры, счетоводы) дают достаточно быстро итог чисел, расположенных колонкой на всю страницу, причем они быстро "водят" пальцем по колонке. Это искусство объясняется тем, что счетчик, как бы читая цифры, умеет хорошо складывать в уме одно-значные числа. Хорошо натренированные счетчики с такой же легкостью складывают и двузначные числа. На первый взгляд уметь складывать ряд однозначных чисел - простое дело, но на самом деле это не так, ибо неопытный счетчик, дойдя до десятой цифры при беглом подсчете, собьется и вот почему: 1) у него нет навыка и 2) счет сам по себе проводится неэкономно.

Пусть требуется сложить ряд однозначных чисел, расположенных по вертикали (колонкой).

4
5
1
3
6
1
2
6
7
8
6
7
5
8

         Как складывает такой ряд неопытный счетчик? А вот как: он говорит про себя - "четыре и пять - девять, девять и один - десять, десять и три - тринадцать" и т. д. Опытный же счетчик поступает иначе: он не повторяет, не называет даже цифр слагаемых, а произносит приблизительно следующее: "десять, двадцать, тридцать пять, пятьдесят шесть и т. д."

      Откуда он взял числа десять, двадцать, тридцать пять и т. д.? А вот откуда: он взглядом охватывает примерно три слагаемых (3, 6 и 1). Таким образом он шесть слагаемых заменяет двумя.  .

     Дальше идут 2, 6, 7, что дает в сумме 15. Он тут же складывает их с ранее полученными 20 и называет 35 и т. д. Мы так и будем рекомендовать поступать учащимся, то есть:

сложение производить группами по два, три числа в каждой и произносить вслух             лишь промежуточные суммы групп.

   В данном случае придерживаться обычного чтения чисел.

     Примечание. Для приобретения навыка в сложении однозначных чисел группами рекомендуется упражняться в определении суммы трех написанных однозначных слагаемых, охватывая их сразу одним взглядом. Например, 3+6+8, 2+9+7 и т. д. Необходимо отметить, что число таких комбинаций довольно велико и поэтому упражнения могут быть достаточно разнообразны. Это число представляет число размещений с повторениями из 9 элементов по 3 и равно 729. Без знания формулы числа размещений с повторениями это число можно подсчитать непосредственно, если взять общее число трехзначных чисел (999-99=900) и отнять число трехзначных чисел с нулем на 2-м месте (их 81), на третьем месте (их тоже 81) и на 2-м и 3-м местах одновременно (их 9).

      Для школьных упражнений можно выписать числа до урока на доске или составить таблицы-плакаты для сложения трех однозначных слагаемых, используя их для устного счета следующим образом. Учитель отмечает указкой какую-либо группу трех слагаемых и, не спрашивая ответа, предлагает прибавить вторую группу, затем к полученной сумме третью группу и т. д. При этом, после того как учащиеся усвоят порядок вычислений, учитель, действуя указкой, говорит только одно слово "прибавить" и спрашивает результат сначала после сложения двух групп слагаемых, а затем постепенно увеличивает их число.

     После приобретения некоторого навыка полезно упражняться в сложении колонок однозначных чисел, производя действие сверху вниз и снизу вверх и предоставляя самим учащимся подбирать наиболее удобные им группы.

2.3. Сложение двух двузначных чисел.

     Редко кто сразу сумеет ответить, сколько будет 79 и 67 или 64 и 78. Обыкновенно на подсчет в уме затрачивается непроизводительное напряжение, которого мы должны избегать и вместе с тем подсчитать легко и быстро. Как же достигнуть этого?

       Сначала заметим, что при сложении двух двузначных чисел могут представиться два случая:

1. Сумма чисел в разряде единиц обоих чисел меньше 10.

2. Сумма чисел в разряде единиц обоих чисел равна или больше 10.

 2.4. Как сложить два двузначных числа, у которых сумма чисел

в разряде единиц меньше 10.

Пример:

Сложение начинаем с десятков.

1. Складываем числа десятков (4+2=6; 8+4=12).

2. Складываем единицы обоих слагаемых (3+6= 9; 7+2=9).

Таким образом, складывая 87 и 42, мы в процессе, сложения оперируем весьма маленькими числами, что, помогает нам легко и быстро находить результаты. Мы читаем так:

2.5.         Как сложить два двузначных числа, у которых сумма единиц

равна или больше 10.

Пример:

1. Складываем числа десятков обоих чисел (4+8, 5+8) и полученную сумму увеличиваем на единицу (12+1=13, 13+1=14), полученное число выписываем в результат.

2. Складываем единицы обоих чисел (3+7; 8+4) и выписываем в результат справа излишек над десятью от суммы единиц (в данных примерах 0 и 2).

Отсюда правило:

Чтобы сложить два двузначных, числа, у которых сумма единиц равна или больше 10, мы к сумме чисел десятков, увеличенной на единицу, приписываем справа избыток над 10 от суммы единиц обоих чисел.

Примеры:

Найти суммы: