Муниципальное учреждение
«Управление образования администрации
городского округа Прохладный,
КБР»
IV Городская научная конференция учащихся
«Человек. Природа. Техника»
Секция: «Математика»
Автор
ученица 6 «А» класса
МОУ «СОШ №4»
Панькова Виктория
Руководитель:
учитель математики
МОУ «СОШ №4»
Шишлова Вера Владимировна
г. Прохладный
2009-2010 уч. год
Оглавление
I.
Введение.
II.
Основная часть.
III.
Заключение.
IV.
Список литературы.
Заданиям на признаки делимости уделяется достаточно много внимания в VI—IX классах средней школы.
Однако в программу по математике в старших классах признаки не входят. При такой необязательности
математические навыки обращения с признаками легко забываются. Но в умении
решать задачи с признаками современный человек независимо от рода деятельности
и уровня образования нуждается непрерывно. Без признаков нельзя обойтись ни в
финансовом анализе, ни в статистике.
Кроме того, очень часто встречается
ненормативное разрешение вопросов «на признаки» в учебной и деловой литературе.
Учитывая актуальность данной темы, нами
проведена данная исследовательская работа.
1.2. Цель исследования
- математическая классификация типичных
вопросов на признаки и выявление нормы словоупотребления термина «признак» в
зависимости от контекста.
1.3. Предмет исследования-
задачи на признаки, включенные в школьные учебники, сборники задач.
1.4. Гипотеза исследования – знание
типов задач, и умение переводить условие задачи с признаками, с учетом
определенной классификации, дает возможность решать любые задания с применением
признаков.
Цель,
предмет и гипотеза исследования обусловили выдвижение и решение следующих задач исследования:
·
Изучить теоретический материал по данной теме
·
Проанализировать задания на признаки из учебников и
задачников для средней школы, точки зрения нормы словоупотребления термина признак
в зависимости от контекста.
II.
Основная часть
2.1. Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств делимость является отношением, определённым на множестве целых чисел.
Признак
делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является
ли число кратным заранее заданному
Если каждое
слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Если в
произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и
произведение делится на это число.
2.2. Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя
цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится
на 3 (так как все числа вида 10n при делении на 3 дают в остатке
единицу).
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух
последних его цифр (оно может быть двузначным, однозначным или нулём) делится
на 4.
Чтобы узнать,
делится ли двузначное число на 4, можно половину единиц прибавить к
десяткам — если сумма делится на 2, значит, число делится на 4. Например,
92: 9 + 1 = 10, значит, 92 делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра
делится на 5 (то есть, равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на
2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).
2.3. Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат
вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится
на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится
на 7).
Либо использовать модификацию признака
деления на 1001=10³+1, которое само делится на 7:
Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы
алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с
единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-»
делилась на семь (например, число 689255. Первая группа со знаком «+» (689),
вторая со знаком «-» (255). Отсюда 689—255 = 434. В свою очередь 434 : 7 = 62).
Ещё один признак — берём первую цифру,
умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7
от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем
следующую…
Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.
2.4. Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние
цифры — нули, или образуют число, которое делится на 8.
Чтобы узнать,
делится ли трёхзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам.
У получившегося числа так же — половину единиц прибавить к десяткам. Если
итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8. Например, 952: 95 + 1
= 96, далее 9 + 3 = 12. Значит, 952 делится на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр
делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается
на ноль.
2.5. Признак делимости на 11
На 11 делятся
только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна
сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся
на 11. Примеры. Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих
четные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих нечетные места 0+7+5=12.
Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места,
есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2
=6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число
461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг
другу, а их разность 11 —7 = 4 на 11 не делится.
Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3
и на 4.
2.6. Признак
делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его
десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845
делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на
14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2
и на 7.
Признак делимости на
15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3
и на 5.
Признак делимости на
17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его
десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например,
29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и
29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное
значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между
числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например,
32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не
делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на
19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его
десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится
на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на
23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен,
сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например, 28842
делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) =
46 — очевидно, делится на 23).
Признак делимости на
25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число,
образованное его последними двумя цифрами делится на 25 (то есть последние две
цифры образуют 00, 25, 50 или 75).
Признак делимости на
99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа
налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп,
считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда,
когда само число делится на 99.
2.7. Признак
делимости на 10. Число
делится на 10, если его последняя
цифра - ноль.
Признак
делимости на 100. Число
делится на 100, если две его последние цифры – нули.
Признак
делимости на 1000. Число
делится на 1000, если три его последние цифры – нули.
Признак делимости на
101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа
налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с
переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101
тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится
на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101.
2.8. Признак
делимости на 2n
Число делится на n-ю
степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>1)
Признак делимости на
5n
Число делится на n-ю
степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на
10n
− 1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой
левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем
сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта
сумма делится на 10n − 1
тогда и только тогда, когда само число делится на 10n
− 1.
Признак делимости на
10n
+ 1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой
левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем
сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-значными
числами. Эта сумма делится на 10n + 1
тогда и только тогда, когда само число делится на 10n
+ 1.
III. Заключение
С математической точки
зрения раздел признаков делимости в школьной математике является простейшим.
Однако при выполнении заданий часто встречаются большие числа, когда нужно
определить делится на данное число или нет, тут, то и пригодятся знания
признаков делимости.
Научить быстро, выполнять
деление натуральных чисел способствует применению знаний признаков делимости.
Понятие признаков делимости вводится уже в 6 классе, но в старших классах
встречается при решении олимпиадных задач.
Список литературы
1. Россия. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. — Лениздат, 1991.
2. Нагибин
Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие
для учащихся 4—8 кл. сред. шк. — 5-е изд. — М.: Просвещение,
1988.
3. А.Г. Ванцян «Математика» 5 класс. М.:
Просвещение,
